ષટ્કોણીય અને તારા આકારની રંગોળીઓ [જુઓ આકૃતિ $(i)$ અને $(ii)$] ને $1\,cm$ બાજુવાળા સમબાજુ ત્રિકોણોથી ભરીને પૂર્ણ કરો. દરેક કિસ્સામાં ત્રિકોણોની સંખ્યા ગણો. કઈ આકૃતિમાં વધુ ત્રિકોણો છે?

(B) આપેલ આકારોમાં $1\,cm$ બાજુવાળા કેટલા સમબાજુ ત્રિકોણો સમાઈ શકે તે શોધવા માટે,આપણે આકારોનું ક્ષેત્રફળ શોધીને તેને એક નાના સમબાજુ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ વડે ભાગીશું.
$1$. $s = 5\,cm$ બાજુવાળા નિયમિત ષટ્કોણ માટે:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{3\sqrt{3}}{2} s^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times 25 = 37.5\sqrt{3} \approx 64.95\,cm^2$.
$1\,cm$ બાજુવાળા દરેક નાના ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{\sqrt{3}}{4} \times 1^2 = 0.25\sqrt{3} \approx 0.433\,cm^2$ છે.
આકૃતિ $(i)$ માં ત્રિકોણોની સંખ્યા $= \frac{37.5\sqrt{3}}{0.25\sqrt{3}} = 150$.
$2$. આકૃતિ $(ii)$ માં તારા આકારની આકૃતિ માટે:
આ આકૃતિ $5\,cm$ બાજુવાળા મધ્યવર્તી ષટ્કોણ અને તેની બાજુઓ પર જોડાયેલા $5\,cm$ બાજુવાળા $6$ સમબાજુ ત્રિકોણોની બનેલી છે.
કુલ ક્ષેત્રફળ $= \text{ષટ્કોણનું ક્ષેત્રફળ} + 6 \times (5\,cm \text{ બાજુવાળા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ})$.
કુલ ક્ષેત્રફળ $= 37.5\sqrt{3} + 6 \times (6.25\sqrt{3}) = 37.5\sqrt{3} + 37.5\sqrt{3} = 75\sqrt{3} \approx 129.9\,cm^2$.
આકૃતિ $(ii)$ માં ત્રિકોણોની સંખ્યા $= \frac{75\sqrt{3}}{0.25\sqrt{3}} = 300$.
તેથી,તારા આકારની આકૃતિ $(ii)$ માં વધુ ત્રિકોણો છે.